Курс лекций по математическому анализу

Учебное пособие. — Самара: Самарский государственный аэрокосмический университет, 2011. — 93 с.Пособие представляет собой опорный курс лекций. Основными понятиями математического анализа являются понятия производной и интеграла. Для того чтобы сформулировать понятия производной и интеграла в достаточно универсальном виде, с применениями к возможно более широкому классу функций, этим понятиям предшествуют теория вещественных чисел, теория пределов, теория непрерывных функций.Учебное пособие предназначено для подготовки бакалавров направления 010400.62, «Прикладная математика и информатика», изучающих дисциплину «Математический анализ» в 1 и 2 семестрах.СодержаниеВведение в математический анализ Некоторые понятия математической логики Множества. Операции над множествами Множество вещественных чисел Числовая последовательность. Ограниченные и неограниченные последовательности Монотонные последовательности Число е Предел функции в точке Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности Основные теоремы о пределах Бесконечно малые функции. Свойства бесконечно малых функций. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малымиСравнение бесконечно малых функций. Свойства эквивалентных бесконечно малых функций Дифференциальное исчисление Производная функции, ее геометрический и физический смысл Основные правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций. Производная сложной функции Логарифмическое дифференцирование. Производная показательно-степенной функции Производная обратных функций Понятие о дифференциале функции. Геометрический смысл дифференциала. Свойства дифференциала. Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи дифференциалаФормула Тейлора. Формула Маклорена Теоремы о производныхРаскрытие неопределенностей. Правило ЛопиталяПроизводные и дифференциалы высших порядков. Общие правила нахождения производных высших порядковИсследование функций с помощью производнойИнтегрирование Первообразная и неопределѐнный интегралТаблица основных интеграловСпособ подстановки (замены переменных). Интегрирование по частям Интегрирование элементарных дробейИнтегрирование рациональных функцийИнтегрирование некоторых тригонометрических функцийИнтегрирование некоторых иррациональных функций Интегрирование биноминальных дифференциалов Несколько примеров интегралов, не выражающихся через элементарные функцииПонятие определѐнного интегралаСвойства определенного интегралаТеорема Ньютона-Лейбница Замена переменных. Интегрирование по частямНесобственные интегралы. Интегралы с бесконечными пределами. Интеграл от разрывной функцииПриложения определенного интеграла Числовые и функциональные ряды Числовые ряды. Основные определенияСвойства числовых рядовКритерий Коши. Сходимость рядов с неотрицательными членами В следующих параграфах рассмотрим некоторые основные признаки, используемые при исследовании рядов на сходимостьПризнак сравнения числовых рядов с неотрицательными членами Признак Даламбера. Предельный признак Даламбера Радикальный и интегральный признаки КошиЗнакопеременные числовые ряды. Признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся числовых рядовФункциональные последовательностиФункциональные рядыСвойства равномерно сходящихся рядовПонятие степенного ряда Теоремы Абеля Разложение функций в степенные ряды Библиографический список