Оптимизация факторизованных предобусловливаний метода сопряженных градиентов для решения систем линейных алгебраических уравнений с симметричной положительно определенной матрицей

Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2013. № 13. 17 с.В работе рассмотрена задача итерационного решения системы линейных алгебраических уравнений Ax=b методом сопряженных градиентов с использованием факторизованного предобусловливателя вида B=(I+LZ)Y(I+ZU), где A=D+L+U представляет собой расщепление матрицы коэффициентов на строго нижнетреугольную, диагональную и строго верхнетреугольную. Представлен подход к отысканию диагональных матриц Y 0 и Z, основанный на минимизации некоторой верхней оценки K-числа обусловленности матрицы, обратной к предобусловленной, применимый для любой симметричной положительно определенной матрицы A. Основными достоинствами предлагаемого нового метода являются: широкая область применимости, небольшое число арифметических действий на каждой итерации, хорошая параллелизуемость всех этапов вычислений, а также достаточное сокращение числа итераций при подходящей настройке алгоритма предобусловливания. Приводятся результаты расчетов тестовых задач.ВведениеФакторизованная матрица предобусловливанияАлгоритм методаПараллельный алгоритм методаРезультаты расчётовСписок литературы