Элементарная теория использования инвариантов для решения математических уравнений

Самара, СамГУ, Вестник СамГУ - Естественнонаучная серия, 2008, №6(65). - 25с.В статье описана общая схема исследования математических уравнений, основанная на использовании инвариантов и позволяющая упрощать алгебраические уравнения и системы, понижать порядок обыкновенных дифференциальных уравнений (или их интегрировать), атакже получать точные решения нелинейных уравнений математической физики. Построение инвариантов осуществляется путем поиска преобразований, сохраняющих вид рассматриваемых уравнений (при этом не используются понятия и сложный аппарат группового анализа). Приведены многочисленные примеры решения конкретных алгебраических и дифференциальных уравнений. Важно отметить, что применение простейших преобразований сдвига и масштабирования (и их комбинаций) позволяет единообразно описать разрешимых (или допускающих понижение порядка) обыкновенных дифференциальных уравнений значительно больше, чем описано в классических и специальных учебниках. При использовании указанного простого метода надоуметь решать лишь самые простые алгебраические уравнения и системы и уметь дифференцировать. Последнее обстоятельство говорит о целесообразности введения данного метода в стандартные курсы лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям и уравнениям математической физики, которые читаются студентам, специализирующимся в области прикладной математики, физики и механики (этотметод с успехом можно включать также в соответствующие специальные курсы, читаемые в некоторых технических и педагогических вузах).