Mнoгoмeрные пространства

М.: Наука, 1966. – 648 с.Книга рассчитана на студентов университетов и педагогических институтов, научных работников, учителей и инженеров, интересующихся геометрией.Книга предполагает знакомство с курсами аналитической геометрии и высшей алгебры, а также с основными понятиями теории групп (в объеме первых глав «Теории групп» А. г. Куроша). Дифференциально-геометрическая глава книги предполагает знакомство с курсом дифференциальной геометрии. Все понятия, связанные с тензорным анализом в книге, определяются, но для лучшего усвоения материала соответствующих разделов книги полезно предварительное знакомство с соответственными главами «Римановой геометрии и тензорного анализа» П. К. Рашевского.Векторы и аффинные операции над нимиГеометрия и числаПространство ЕвклидаВещественные числаВекторыОбобщение понятия пространстваВекторыЛинейное пространствоАксиомы сложенияАксиомы умножения на числоЛинейная зависимость и независимость векторов Аксиома размерности Модели линейного пространства Координаты векторовСокращенное обозначение суммированияПреобразование координат Подпространства линейного пространстваТензорыКовариантные векторыТензоры Симметрические и кососимметрические тензорыЛинейные операторыВекторные линейные функцииМатрицыЛинейные операторыСложение операторовУмножение операторовДействие операторов на ковариантные векторыОператорное произведение векторовСобственные векторыПрямоугольные операторыАффинное пространствоАксиомы аффинного пространстваПереносыАффинные координатыМетрические операции над векторамиЕвклидово пространствоАксиомы евклидова пространстваМодели евклидова пространстваРасстояния между точками Неравенство треугольника Углы между векторамиСкалярное произведение в координатахОртогонализацияПрямоугольные координатыПреобразование прямоугольных координат Евклидовы тензорыМетрический тензорПоднятие и опускание индексовВзаимный базисВычисление координат векторов Ковариантные координаты векторовЕвклидовы операторыВычисление элементов матриц операторовОператорное произведение векторовТранспонированный операторСимметрический операторКососимметрический операторОртогональный операторЕвклидовы прямоугольные операторыОриентированное пространствоОриентация пространстваКосое произведениеВекторное произведениеКосое произведение в координатахВекторное произведение в координатахСвязь косого произведения со скалярным Связь векторного произведения со скалярнымПрямые и плоскостиГеометрия прямых линийПрямые линииКоординатные уравнения прямойУравнения прямой по двум точкамУсловие принадлежности трех точек одной прямойУгол между прямымиРасстояние от точки до прямой Перпендикуляр, опущенный из точки на прямуюОтражение от прямойВзаимное расположение двух прямыхКратчайшее расстояние между двумя скрещивающимися прямымиОбщий перпендикуляр двух прямыхГеометрия плоскостейПлоскостиКоординатные уравнения плоскостиУравнения m-плоскости по m + 1 точкам Случай m = n - 1 Векторное уравнение плоскостиКоординатное уравнение плоскостиУравнение плоскости по точке и нормальному векторуОсновная теорема о плоскостиУравнение плоскости по точке и направляющим векторамУравнение плоскости по n точкам Условие принадлежности n + 1 точек одной плoскостиУгол между плоскостямиРасстояние от точки до плоскостиОтражение от плоскости Расстояние между параллельными плоскостямиГеометрия m-плоскостейУравнения m-плоскостиОператорные уравнения m-плоскостиПерпендикуляр, опущенный из точки на m-плоскостьРасстояние от точки до m-плоскостиРасстояние от точки до m-плоскости, другая форма Отражение от m-плоскости Отражение от m-плоскости, другая формаОтражение от точки Взаимное расположение двух непересекающихся плоскостейВзаимное расположение двух пересекающихся плоскостей Вычисление размерности пересечения или общего направления двух m-плоскостейОбщий перпендикуляр двух скрещивающихся m-плоскостей Кратчайшее расстояние между двумя скрещивающимися m-плоскостямиРасстояние между параллельными m-плоскостямиСтационарные углы между двумя m-плоскостямиИзоклинные и вполне перпендикулярные m-плоскостиРазмерность многообразия m-плоскостейДвижения и аффинные преобразованияАффинные преобразованияГеометрические преобразованияАффинные преобразованияАффинные преобразования в координатахЦентроаффинные преобразования и переносыГруппа аффинных преобразованийЗадание аффинного преобразованияАфинные преобразования первого и второго родаНеподвижные точки и инвариантные направленияПреобразование родстваГомотетияПреобразование m-родстваДвиженияДвижения и конгруэнтность Движения в координатахВращения и переносыГруппа движений Задание движения Движение первого и второго родаНеподвижные точки и инвариантные направленияМнимые векторыИзотропные векторыКанонический вид матрицы ортогонального оператораКлассификация вращенийСтационарные углы поворотаПаратактический поворотКлассификация движенийПредставление движений в виде произведения отражений от плоскостейПодобияПодобия и подобные фигурыПодобия в координатахГруппа подобийЦентр подобияГруппа гомотетий и переносовМногогранникиПрямолинейные отрезкиЛучи и отрезкиДлина отрезкаОриентированные отрезкиОтношение отрезковДеление отрезка в данном отношенииОтношения отрезков при аффинных преобразованияхПараллелепипедыПолуплоскости и параллелепипедыГрани параллелепипедаОбъемыОбъем прямоугольного параллелепипедаОбъем произвольного параллелепипедаОриентированные n-параллелепипеды Аффинность n-параллелепипедовОбъемы произвольных кубируемых фигурСимплексыСимплексыГрани симплексаОбъем симплексаОриентированные n-симплексыАффинность n-симплексовЦентр тяжести n-симплексаОртоцентрический n-симплексМногогранники нулевого родаМногогранникиПризмы и пирамидыВыпуклые многогранники Многогранники нулевого родаТеорема ЭйлераПравильные многогранникиПравильные многоугольники и 3-многогранникиПравильные n-многогранникиЦентр правильного многогранникаХарактеристический симплекс правильного многогранника Классификация правильных n-многогранников Правильный n-симплексОбъем правильного n-симплексаПравильный n-параллелепипед или n-кубВзаимные правильные n-многогранникиМногогранник, взаимный с n-кубом Правильные 4-многогранникиСимметрии правильныx многогранниковПравильные (n - 1)-сотыСферыГеометрия сферСферыУравнение сферы в координатахСферы АполлонияУравнение сферы по n + 1 точкамСферы, описанные около многогранниковУсловие того, что n + 2 точек лежат на одной сфереСтепень точки относительно сферыВзаимное расположение сферы и прямойГеометрический смысл степени точки относительно сферыВзаимное расположение сферы и m-плоскостиКасательная плоскость к сфереСферы, вписанные в многогранникВзаимное расположение двух сферПучок сферУгол между сферамиГеометрия на сфереБольшие и малые окружности и m-сферыСферические расстоянияСферическая теорема косинусовСферическая теорема синусовДвойственная теорема косинусовПлощадь сферического треугольникаКоординаты на сфереСферические координаты в пространствеЭлемент объема сферыЭлемент объема в сферических координатахОбъем сферыОбъем шараСферические симплексыСферические симплексыГрани сферического симплексаМногогранные углы сферического симплексаАльтернированная сумма углов симплексаОбъем сферического симплексаАвтополярный симплексГеометрия m-сферУравнения m-сфер Взаимное расположение двух m-сферКвадрикиОбщая теория квадрикУравнения квадрикиВзаимное расположение квадрики и прямойАсимптотические направленияЦентр симметрииДиаметральные плоскости и сопряженные направленияПлоскости симметрии и главные направленияКасательная плоскость Полярная плоскость и полюсВзаимное расположение квадрики и m-плоскостиКлассификация квадрикСобственные векторы симметрического оператора Приведение к центруПриведение к главным направлениямПриведение к взаимно сопряженным направлениям Классификация центральных квадрикКонусыЭллипсоиды и гиперболоидыАсимптотический конусПлоские образующие гиперболоидовПлоские образующие максимальной размерностиПараболоидыПлоские образующие гиперболических параболоидовВырожденные квадрики Обзор типов квадрикАффинные преобразования и движения квадрикАффинные преобразования квадрикАффинное преобразование как произведение аффинного преобразования с симметрическим оператором и движенияАффинные преобразования, переводящие квадрику в себяЭллиптические поворотыГиперболические поворотыПараболические поворотыДвижения квадрик и метрические инварианты уравнений квадрикИнварианты при вращенияхИнварианты при переносах Инварианты при произвольных движенияхИсследование уравнений квадрик при помощи метрических инвариантовСкользящие векторыСкользящие векторы в пространствеСвободные и скользящие векторыЭквивалентные системы скользящих вектopoвСкользящие векторы на сфереТеоремы о скользящих векторахЭквивалентность систем скользящих векторовГлавный вектор и главный момент системыГлавный момент системы скользящих векторов на сфереГлавная ось системыГеометрический смысл оператора главного моментаСобственные вeкторы кососимметрического оператораКаноническая система векторовУсловие эквивалентности систем скользящих векторовПроективные преобразованияПроективное пространствоЦентральное проектированиеПроективное n-пространство Проективные координаты точекДвойное отношение четырех точекПлоскостиУравнение плоскости по n- точкамПринцип двойственностиДвойное отношение двух точек и двух плоскостейПроективные преобразованияКоллинеацииГруппа коллинеацийЗадание коллинеацииПроективные преобразования прямойКоллинеарное отображение n-пространствНеподвижные точки коллинеацийКорреляцииКонфигурационные теоремыКонфигурацииТеорема ПаппаДвойственная тeoрeмa ПаппаТеорема ДезаргаТеорема о полном четырехсторонникеТеорема о полном четырехугольнике ГомологииАффинные гомологииПерспективное отображение плоскостейНевырожденные m-гомологии Инволюционные коллинеацииГеометрия m-плоскостейПересечение и сумма m-плоскости и l-плоскостиПроективные операторные координаты m-плоскостиПроективные преобразования в проективных операторных координатахРазмерность пересечения m-плоскостей в проективных операторных координатахПроектирование на m-плоскость в направлении (n - m - 1)-плоскостиОтражение от m-парыДвойное отношение двух m-парТрансверсали двух m-парАффинные операторные координаты m-плоскостей Проективные преобразования в аффинных операторных координатах Размерность пересечения m-плоскостей в аффинных операторных координатахДвойное отношение двух m-парКвадрикиУравнения квадрикиВзаимное расположение квадрики и прямойКасательная плоскостьПолярная плоскость и полюс Полярное преобразованиеПлоские образующие квадрикДвойственность квадрикУпрощение уравнений квадрикПроективные свойства линий второго порядка и линейчатых квадрикТеоремы Паскаля и БрианшонаПроективные преобразования квадрикИнволюционные корреляцииНулевые плоскости нуль-системыДифференцирование векторов Дифференцирование по скалярному аргументуВекторные функции скалярного аргументаДифференцирование и интегрирование векторных функцийВекторные дифференциальные уравненияКасательная к линииСоприкасающиеся m-плоскостиСопровождающий базисДлина дугиПервая кривизна линии Формулы Френе(n - 1)-я кривизна линииНатуральные уравнения линииОператорные функции скалярного аргументаИнфинитезимальные движенияОператорная запись формул ФренеВинтовые линииДифференцирование по векторному аргументуСкалярные функции векторного аргументаВекторные функции векторного аргументаВекторные уравнения поверхностейКасательная m-плоскость к m-поверхностиКасательная плоскость и нормаль к поверхностиПервая квадратичная форма поверхностиЭлемент объема поверхностиПересечение касательной плоскости с поверхностьюКривизна линий на поверхностиЛинейный оператор поверхности Индикатриса ДюпенаГлавные кривизныКривизны плоскости и сферыn-ортогональные системы поверхностей Полная кривизна поверхностиФормулы Гаусса и ВейнгартенаАбсолютное дифференцированиеВекторы и тензоры на поверхностиАбсолютное дифференцированиеТензор кривизныОпределение поверхности ее квадратичными формамиПараллельный переносГеодезическая кривизна линииГеодезические линииКривизна поверхности в 2-мерном направленииТеорема Гаусса – БоннеРимановы пространства и пространства аффинной связностиКонформные преобразованияКонформное пространство и конформные преобразованияКонформные преобразованияТеорема ЛиувилляИнверсия относительно сферыКонформное пространство Стереографическая проекцияКонформные преобразования как произведения инверсийПроективная интерпретация конформного пространстваУгол между сферамиГруппа конформных преобразованийГеометрия m-сферОператорное уравнение m-сферыСтационарные углы между m-сферамиПрименение комплексных чисел и кватернионовАлгебрыКомплексные числа и кватернионыПлоскость комплексного переменного и пространство кватернионовПереносы и гомотетииПоворотыДвижения и подобия 2-плоскостиДвижения и подобия 4-пространстваДвижения 3-пространстваСпинорное представление вращений 3-пространстваСпинорное представление вращений 4-пространстваИнверсии относительно окружностей и сферКруговые преобразования 2-плоскости и конформные преобразования 4-пространстваДвойное отношение четырех комплексных чисел или кватернионовПространство и времяПространство - время и псевдоевклидовы пространстваПространство - время классической механикиПространство - время специальной теории относительностиАксиомы псевдоевклидовых пространствЗакон инерцииМодели псевдоевклидовых пространств Расстояния между точкамиИзотропный конусСферыУглы между векторамиТеорема косинусовИнтерпретация многообразия евклидовых сфер на псевдоевклидовой сфереИнтерпретация многообразия евклидовых сфер в псевдоевклидовом пространствеПрямоугольные координатыПрямые и плоскостиПсевдоевклидовы движенияДвижения и конгруэнтностьВращения и переносы Группа движенийКанонический вид матрицы псевдоортогонального оператораАнтидвиженияПодобия и антиподобияКонформные преобразования и псевдоконформное пространствоКонформные преобразованияИнверсия относительно сферыПсевдоконформное пространствоСтереографическая проекцияИнтерпретация многообразия псевдоевклидовых сфер на псевдоевклидовой сфереГеометрия m-сферПрименение двойных чисел и антикватернионовДвойные числа и антикватернионыПлоскость двойного переменного и пространство антинватернионовПовороты и антиповороты Движения, антидвижения, подобия и антиподобияКруговые преобразования 2-плоскости и конформные преобразования 4-пространства Двойное отношение четырех двойных чисел или антикватернионовСопряженные пары точек 2-плоскостиКонформные преобразования псевдоевклидовой 2-плоскости Спинорные представления вращений 3-пространстваСпинорные представления вращений 4-пространстваИнтерпретация многообразия прямых проективного 3-пространства в псевдоконформном 4-пространстве Геометрия и физикаПсевдоримановы пространстваНеевклидовы пространстваСложение скоростей в специальной теории относительностиПлоская электромагнитная волна в специальной теории относительностиСпинорное представление группы Лоренца и спин электронаПространство - время общей теории относительностиКвантовая физика и геометрия ПримечанияБиблиография